Tìm số giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) trong các trường hợp sau :
a) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=12+4t\\y=9+3t\\z=1+t\end{matrix}\right.\) và \(\left(\alpha\right):3x+5y-z-2=0\)
b) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2-t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\) và \(\left(\alpha\right):x+3y+z+1=0\)
c) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=1+2t\\z=2-3t\end{matrix}\right.\) và \(\left(\alpha\right):x+y+z-4=0\)
a) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
3(12 + 4t) +5(9 + 3t) - (1 + t) = 0
⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3.
Tức là d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2).
Trong trường hợp này d cắt (α) tại điểm M.
b) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
(1 + t) + 3.(2 - t) + (1 + 2t) + 1 = 0
⇔ 0.t + t = 9, phương trình vô nghiệm.
Chứng tỏ d và (α) không cắt nhau., ta có d // (α).
c) Thay các tọa độ x ; y ; z trong phương trình tham số của d vào phương trình (α) ta có:
(1 + 1) + (1+ 2t) + (2 - 3t) - 4 = 0
⇔ 0t + 0 = 0,phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ d ⊂ (α) .
Phương trình : \(\left(\sqrt{3}+1\right)sin^2x-2\sqrt{3}sinxcosx+\left(\sqrt{3}-1\right)cos^2x=0\) có các nghiệm là :
A . \(\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\Pi}{4}+k\Pi\\x=\alpha+k\Pi\end{matrix}\right.\) ( Với \(tan\alpha=-2+\sqrt{3}\) )
B . \(\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\Pi}{4}+k\Pi\\x=\alpha+k\Pi\end{matrix}\right.\) ( Với \(tan\alpha=2-\sqrt{3}\) )
C . \(\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\Pi}{8}+k\Pi\\x=\alpha+k\Pi\end{matrix}\right.\) ( Với \(tan\alpha=-1+\sqrt{3}\) )
D . \(\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\Pi}{8}+k\Pi\\x=\alpha+k\Pi\end{matrix}\right.\) ( Với \(tan\alpha=1-\sqrt{3}\) )
Trình bày bài giải chi tiết rồi ms chọn đáp án nha các bạn .
\(Cm:x_1< \alpha< \beta< x_2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.f\left(\alpha\right)< 0\\a.f\left(\beta\right)< 0\end{matrix}\right.\)
Cho các số thực \(\alpha,\beta\)
và \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) trong các trường hợp sau :
a) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=1+2t\\z=1-t\end{matrix}\right.\) và \(\left(\alpha\right):x+2y+z-3=0\)
b) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=2-t\\y=t\\z=2+t\end{matrix}\right.\) và \(\left(\alpha\right):x+z+5=0\)
c) \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=3-t\\y=2-t\\z=1+2t\end{matrix}\right.\) và \(\left(\alpha\right):x+y+z-6=0\)
\(M^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{2y}\right)^2=\left(\frac{1}{_{\sqrt{\alpha}}}.\sqrt{\alpha x}+\sqrt{2y}\right)^2< =\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)\left(\alpha x+2y\right)\)
\(\Rightarrow M^4\le\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha x+2y\right)^2\le\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)\left(x^2+y^2\right)=\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)\)
Dấu bằng xảy ra => \(\hept{\begin{cases}\frac{\alpha x}{\frac{1}{\alpha}}=\frac{2y}{1}\\\frac{\alpha}{x}=\frac{2}{y}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\alpha^2x=2y\\\alpha=\frac{2x}{y}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{\alpha^2}{2}=\frac{y}{x}\\\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{y}\end{cases}}}\Rightarrow\frac{\alpha^2}{2}=\frac{1}{\frac{\alpha}{2}}\Rightarrow\alpha=\sqrt[3]{4}\)
Suy ra max = \(\sqrt[4]{\left(\frac{1}{\alpha}+1\right)^2\left(\alpha^2+4\right)}\) với \(\alpha=\sqrt[3]{4}\)
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}\text{x, y, z > 0}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\). Tìm \(\min\limits_P=\dfrac{1}{\alpha\text{a}+\beta b+\gamma c}+\dfrac{1}{\beta\text{a}+\gamma b+\alpha c}+\dfrac{1}{\gamma\text{a}+\alpha b+\beta c} v\text{ới} \alpha; \beta;\text{ \gamma}\in\) \(\mathbb{N}^*\)
Cho 2 số a, c thõa mãn ac < 0. Xét hai pt \(\left\{{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=0\left(1\right)\\cx^2+bx+a=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Gọi \(\alpha\)và \(\beta\) là hai nghiệm lớn nhất của (1) và (2). CMR: \(\alpha+\beta\ge2\)
Cho hàm số \(f:\left[a;b\right]\rightarrow\left[a;b\right]\) liên tục trên \(\left[a,b\right]\) với \(a< b\) thỏa mãn \(\left|f\left(\alpha\right)-f\left(\beta\right)\right|< \left|\alpha-\beta\right|\), \(\forall\alpha,\beta\in\left[a;b\right]\) phân biệt. Chứng minh rằng \(\exists!\gamma\in\left[a;b\right]:f\left(\gamma\right)=\gamma\)
(Ở đây kí hiệu \(\exists!\) nghĩa là tồn tại duy nhất)
Cho họ đường thẳng \(\left(d_{\alpha}\right):\left(x-1\right)\cos\alpha+\left(y-1\right)\sin\alpha-4=0\) (với \(\alpha\) là tham số. Tìm tập hợp tất cả các điểm mà \(\left(d_{\alpha}\right)\) không đi qua với mọi \(\alpha\). Suy ra \(\left(d_{\alpha}\right)\) tiếp xúc với một đường tròn cố định.
(Mình biết đáp án là \(\left(d_{\alpha}\right)\) không đi qua các điểm có tọa độ \(\left(x;y\right)\) sao cho \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2< 16\) và \(\left(d_{\alpha}\right)\) tiếp xúc với đường tròn \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=16\) cố định nhưng mình chưa biết cách để làm)
uhm, bài hay đấy, có thể quay vào toán bất đẳng thức vẽ trên geogebra không?
